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引入 期望的区间估计 (未知方差)引入 期望的区间估计 (未知方差)May 07, 20257 min read
承接与对比:
在前面的讨论中（σ2 已知），我们使用 Z=σ/nXˉ−μ 作为枢轴量，因为它服从已知的标准正态分布 N(0,1)。
然而，在绝大多数实际应用中，如果总体均值 μ 是未知的，那么总体方差 σ2 (或标准差 σ) 通常也是未知的。假设 σ 已知往往是不现实的。
问题：当 σ 未知时，我们应该怎么办？
解决方案：用样本估计总体
自然的想法是用样本标准差 S 来估计未知的总体标准差 σ。
回顾：S2=n−11∑i=1n(Xi−Xˉ)2 是 σ2 的无偏估计。
我们尝试将 Z 统计量中的 σ 替换为它的估计值 S，得到新的统计量：
T=S/nXˉ−μ
关键问题：这个新的统计量 T 还服从标准正态分布 N(0,1) 吗？
答案：不服从。因为分母上的 S 本身是从样本计算出来的，它是一个随机变量，具有抽样波动性。这种来自估计 σ 的额外不确定性，使得 T 的分布与 Z 不同。
引入 t 分布 (Student’s t-distribution)
W.S. Gosset (笔名 Student) 在 1908 年研究了当总体服从正态分布 N(μ,σ2) 时，统计量 T=S/nXˉ−μ 的精确分布。
这个分布被称为学生 t 分布 (或简称 t 分布)。
t 分布的特点：
它由一个参数决定：自由度 (degrees of freedom, df)，对于单样本估计 μ 的问题，df=n−1。
图像：关于 0 对称，形状类似标准正态分布，但尾部更“厚” (fatter tails)。这意味着 t 分布认为出现极端值的可能性比正态分布要大，这恰好反映了用 S 替代 σ 所引入的额外不确定性。
随着自由度 n−1 的增大，t 分布逐渐逼近标准正态分布 N(0,1)。当 n 很大时 (n≥30 或更大)，S 对 σ 的估计非常精确，t 分布与 Z 分布几乎没有差别。
利用 t 分布构造置信区间
枢轴量：在总体 N(μ,σ2) 的假设下，T=S/nXˉ−μ 服从自由度为 n−1 的 t 分布，记作 t(n−1)。这是一个理想的枢轴量，因为它包含 μ，其分布已知且不依赖未知参数 (μ,σ2)。
构建概率不等式：对于给定的置信水平 1−α，查找 t 分布的上 α/2 分位数 tα/2(n−1)，使得 P(−tα/2(n−1) 推导置信区间：将 T 的表达式代入并解出 μ： P(Xˉ−tα/2(n−1)nS<μ 置信区间公式 (σ 未知时): (Xˉ−tα/2(n−1)nS,Xˉ+tα/2(n−1)nS) 或者简写为 Xˉ±tα/2(n−1)nS。 例子： 这些例子更符合实际，因为我们不再需要假设 σ 已知。 例子 1: 新教学方法的效果评估 场景：研究者想估计采用某种全新教学方法后，学生在某项能力测试上的平均得分 μ。 σ 未知原因：因为是新方法，没有历史数据可以提供该方法下学生得分的标准差 σ。μ 和 σ 都需要从样本数据中估计。 数据：随机抽取 n=20 名学生接受新方法教学并参加测试。计算得到样本均值 Xˉ 和样本标准差 S。 区间需求：构造 μ 的 95% 置信区间，以评估新方法的平均效果。 解析：使用 t 分布，自由度 df=n−1=19。查找 t0.025(19)，计算区间 Xˉ±t0.025(19)20S。 例子 2: 游客日均消费估计 场景：某城市旅游局想了解游客在该市的日均消费金额 μ。 σ 未知原因：不同游客的消费习惯差异很大，无法预先知道消费金额的标准差 σ。 数据：随机调查 n=50 名游客，记录其日均消费。计算样本均值 Xˉ 和样本标准差 S。 区间需求：构造 μ 的 90% 置信区间，为旅游经济规划提供参考。 解析：使用 t 分布，自由度 df=n−1=49。查找 t0.05(49)，计算区间 Xˉ±t0.05(49)50S。 例子 3: 新药疗效评估 场景：制药公司研发了一种新降压药，想估计该药能使患者的收缩压平均降低多少 (μ)。 σ 未知原因：新药对不同患者的效果可能不同，其引起的血压降低值的标准差 σ 是未知的。 数据：选取 n=25 名高血压患者服用该药一段时间，记录每人收缩压的降低值。计算这些降低值的样本均值 Xˉ 和样本标准差 S。 区间需求：构造 μ 的 95% 置信区间，判断该药的平均降压效果。 解析：使用 t 分布，自由度 df=n−1=24。查找 t0.025(24)，计算区间 Xˉ±t0.025(24)25S。 总结与对比: 当 σ 未知时，使用样本标准差 S 代替 σ，并使用 t 分布（自由度 n−1）代替 Z 分布来构造均值 μ 的置信区间。 t 分布的临界值 tα/2(n−1) 通常大于对应的 zα/2 值（尤其在 n 较小时），这使得未知方差情况下的置信区间通常比已知方差情况下的区间要 宽。这反映了因为需要估计 σ 而带来的额外不确定性，使得估计的精度有所下降。 计算出的区间 Xˉ±tα/2(n−1)nS 提供了对未知总体均值 μ 的一个估计范围，并附加了 1−α 的置信度。 Created with Quartz v4.5.0 © 2025